小学数学趣题巧算百题百讲百练－－杂题部分

      数学网为广大小学生和家长整理的“小学数学趣题巧算百题百讲百练系列”，包括计算、几何、应用题、杂题以及各部分练习题，每部分都有100道精选例题及讲解，以提高广大小学生的综合解题能力。本篇为杂题部分。  

    小学生的课外数学活动，包括一些数学竞赛活动，极大地提高了小学生学习数学的兴趣和热情。通过参加各种数学课外活动，提高了学生思维和探索能力。杂题中选编的例题，更突出了小学数学知识的综合运用。有的题涉及一点小学尚未学习的知识，但是学生还是可以理解的，题中介绍的各种解法，小学生应该掌握。

　　例84 将奇数1、3、5、7、9、……按下表排成五列。

　　例如，13排在第2行第2列，25排在第4行第4列。那么1993排在第几行第几列？

　　分析与解 首先要算出1993这个数是这列数中的第几个数。

　　由上表可看出，每行有4个数，而997÷4=249……1。就是说第997个数是第250行中最小的一个。偶数行的数是从小到大依次排在第4、3、2、1列的，因此1993这个数排在第250行第 4列。

　　例85 在自然数中有很多三位数，其中三个数字之和是5的倍数的三位数共有多少个？

　　分析与解 要想求出三个数字之和是5的倍数的三位数共有多少个，不妨按从小到大的顺序把这些数写出来：104、109、113、118、122、127、……显然，用这种寻找^答~`案的方法是可以的，但是太费时间了。

　　我们可以按下面的思路去思考。

　　这10个连续的三位数的三个数字之和,也正好是10个连续的自然数。例如，A=1，B=2，那么上面写出的10个连续的三位数的三个数字之和为3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。其中有而且只有两个三位数的三个数字之和是5的倍数。

　　从100～999，这些三位数共900个，每10个连续三位数为一个“数段”，一共可以分成90个“数段”。而每10个连续的三位数中有而且只有2个三位数的三个数字之和是5的倍数，所以在所有的三位数****有 2×90=180个三位数，它们的三个数字和是5的倍数。

　　答：三位数中三个数字之和是5的倍数的共有180个。

　　例86 有一串数 1、4、9、16、25、26、49、……它们是按一定的规律排列的。那么左起第1994个数比第1993个数大多少？

　　分析与解 仔细观察这串数各数的特征不难发现，这串数是从1开始的自然数的平方数，即12、22、32、42、52、62、72、……

　　进而比较相邻两数之差，可以发现

　　4-1=22-12=2+1

　　9-4=32-22=3+2

　　16-9=42-32=4+3

　　25-16=52-42=5+4

　　由此可以推得，左起第1994个数比第1993个数大

　　1994+1993=3987

　　答：左起第1994个数比第1993个数大3987。

　　例87 有一列数 1、2、4、7、11、16、22、29、……这列数左起第1994个数除以5的余数是多少？

　　分析与解 观察这一列数，我们发现它排列的规律是：第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；……依次类推。这样我们就可以先求出第1994个数是几，再算出这个数除以5的余数是多少了。

　　左起第1994个数是

　　1+1+2+3+…+1993

　　=1+1987021

　　=1987022

　　再计算1987022除以5的余数，得到余数是2。

　　也可以这样思考：

　　根据这列数排列的规律，我们先列出前15个数，然后再算一下这15个数被5除的余数。列表如下：

　　从上表可以看出、第1、2、3、4、5五个数被5除的余数，与第6、7、8、9、10五个数被5除的余数对应相同、也与第11、12、13、14、15五个数被5除的余数对应相同。由此得出，这一列数被5除的余数，每隔5个数循环出现。

　　因为1994=5×398+4，所以第1994个数被5除得到的余数，与第四个数除以5得到的余数一样，也就是余数为2。

　　答：这列数左起第1994个数除以5得到的余数是2。

　　例88 有1994名同学按编号从小到大排成一排，令奇数号位（1号位、3号位……）上的学生离队。余下的同学顺序不变，再令其中站在新编号为奇数号位上的同学离队。依次重复上面的做法，那么最后留下来的同学，在开始时是排在第几号位上的？

　　分析与解 依照题中所说的做法，第一次令奇数号位上的同学离队后，余下的同学，开始时编号是2（21×1）、4（21×2）、6（21×3）、……、1994（21×997），再令余下的同学中站在奇数号位上的同学离队后，剩下的同学开始时的编号是4（22×1）、8（22×2）、12（22×3）、16（22×4）、……、1992（22×498）

　　依次类推，第9次令余下的同学中站在奇数号位上的同学离队后，剩下的同学开始时的编号是29×1，29×2，29×3。

　　第10次令余下的同学中站在奇数号位上的同学离队后，只剩下一个同学，他开始时的编号是：210×1，即1024。

　　答：最后留下来的同学，在开始时是排在第1024号位上的。

　　例89 把乒乓球装在6个盒中，每盒装的个数分别为1个、3个、9个、27个、8l个、243个。从这6盒中，每次取其中1盒，或取其中几盒，计算乒乓球的个数之和，可以得到63个不同的和。如果把这些和从小到大依次排列起来，是1个、3个、4个、9个、10个、12个、……，那么第60个和是多少个？

　　分析与解 首先应该想到，不能用从取1盒、取2盒、……去计算乒乓球个数之和的办法，去寻找第60个和是多少个。根据题意，第63个兵乓球个数之和是很容易计算出来的，而第60个兵乓球个数之和与它相差不多，例推回去，就可以得出结果了。

　　根据已知，第63个乒乓个数之和是

　　1+3+9+27+81+243=364

　　于是第62个乒乓球个数之和应该是

　　364-1=363

　　第61个乒乓球个数之和应该是

　　364-3=361.

　　第60个乒乓球个数之和应该是

　　364-3-1=360

　　答：第60个乒乓球个数之和是360。

　　例90 有甲、乙、丙、丁四个人，他们的年龄一个比一个大2岁，这四个人年龄的乘积是48384。这四个人的年龄各是几岁？

　　分析与解 题中告诉我们，48384是四个人年龄的乘积，只要我们把48384分解质因数，再按照每组相差2来分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。

　　48384=28×33×7

　　=（22×3）×（2×7）×24×（2×32）

　　=12×14×16×18

　　由此得出这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。

　　也可以这样想：

　　由题意可知，这四个数是相差2的四个整数。它们的积是偶数，当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为48384的个位数字不是0，显然这四个数中，没有个位数字是0的，那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、8。

　　又因为104＜48384，而 48384＜204，所以可以断定，这四个数一定是12、14、16、18。也就是说，这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。

　　答：这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。

　　例91 把分母为60的最简假分数从小到大排列，第1994个分数是几分之几？

　　分析与解 直接求出第1994个假分数是几分之几，是不大容易的。我们不妨换一下思考的角度，那就是将假分数化成带分数去思考，求出第1994个带分数是几又几分之几，再把这个带分数化成假分数就可以了。

　　由于分母是60的最简真分数共有16个，把它们从小到大排列起来，依

　　由此可知，分母为60的最简假分数化成带分数后，由小到大依次排列，

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